Genehmigter Lehrplan – gültig für das auslaufende achtjährige Gymnasium

M 7.1 Figurengeometrie: vom Zeichnen und Beschreiben zum Konstruieren und Begründen

Bei der Erzeugung symmetrischer Figuren lernen die Schüler das mathematisch wie kulturhistorisch bedeutsame Prinzip der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kennen. Sie lernen, geometrische Phänomene allmählich differenzierter zu analysieren sowie folgerichtig zu argumentieren und zu begründen. Eine abstraktere Denkweise ergänzt nach und nach ihren bisher anschaulich und intuitiv geprägten Wissenserwerb.

M 7.1.1 Achsen- und punktsymmetrische Figuren (ca. 12 Std.)

Anhand von Figuren aus ihrer Erfahrungswelt erkennen die Schüler die Achsen- und Punktsymmetrie als natürliches Gestaltungsprinzip. Sie verwenden aus der Anschauung gewonnene Fundamentalsätze zur Begründung der ersten Grundkonstruktionen. Anhand der Vielfalt der Vierecke erschließt sich ihnen die Symmetrie als ein Ordnungsprinzip.

• Achsensymmetrie: Eigenschaften, Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse 
• Mittelsenkrechte, Lot; Winkelhalbierende
• Punktsymmetrie: Eigenschaften, Konstruktion von Spiegelpunkt und Zentrum
• Übersicht über symmetrische Vierecke

M 7.1.2 Winkelbetrachtungen an Figuren (ca. 8 Std.)

Die Schüler entdecken die wesentlichen Zusammenhänge an Geradenkreuzungen bzw. Doppelkreuzungen mit parallelen Geraden und beschäftigen sich mit Winkelsummensätzen. Dabei wird ihnen auch der Unterschied zwischen Fundamentalsätzen und daraus abgeleiteten Sätzen deutlich gemacht.

• Geradenkreuzung: Scheitel- und Nebenwinkel; Doppelkreuzung: Stufen- und Wechselwinkel
• Innenwinkelsumme beim Dreieck und beim Viereck

M 7.2 Auf dem Weg von der Zahl zur Funktion

Die Verwendung von Variablen beispielsweise in einfachen Formeln aus der Geometrie ist den Jugendlichen bereits bekannt. Sie befassen sich nun mit Termen, systematisieren ihre Vorkenntnisse und sammeln erste Erfahrungen mit funktionalen Zusammenhängen.

M 7.2.1 Term und Zahl (ca. 6 Std.)

Die Schüler erkennen, dass Sachverhalte bei Verwendung von Variablen kurz und treffend beschrieben werden können. Damit wird der bisher verwendete Termbegriff erweitert. Bei Termwertberechnungen wiederholen und vertiefen sie ihre Kenntnisse und Fertigkeiten im Rechnen mit rationalen Zahlen.

• Termbegriff, Berechnen von Termwerten

M 7.2.2 Term und Abhängigkeit (ca. 6 Std.)

Bei der Beschäftigung mit unterschiedlichsten funktionalen Abhängigkeiten erfahren die Schüler, wie diese mit Termen beschrieben werden können. Sie diskutieren daraus resultierende Fragestellungen und bereiten so den Funktionsbegriff vor. Unter anderem erkennen sie, dass zu jeder zulässigen Einsetzung genau ein Termwert gehört.

• Aufstellen und Interpretieren von Termen
• Argumentieren mithilfe von Termen, Veranschaulichen ausgewählter Terme

M 7.3 Terme und Gleichungen

Beim Diskutieren von Abhängigkeiten und Begründen von Sachverhalten stellen die Schüler fest, dass das Umformen von Termen bzw. das Lösen von Gleichungen nötig ist. Im Sinne kumulativen Lernens üben sie die grundlegenden Techniken ein, die sie im weiteren Verlauf des Schuljahrs und in den nachfolgenden Jahrgangsstufen vertiefen.

M 7.3.1 Umformen von Termen (ca. 16 Std.)

Beispielsweise beim unterschiedlichen Vorgehen zur Gewinnung der Flächenformel des Trapezes zeigt sich, dass Terme zielgerichtet, also abhängig vom jeweiligen Kontext, umgeformt werden müssen. Die Schüler lernen, auf der Grundlage der Rechengesetze für rationale Zahlen Terme angemessener Komplexität in äquivalente Terme umzuwandeln. Dabei wird je nach Zielsetzung zusammengefasst, ausmultipliziert und in einfachen Fällen auch faktorisiert. Durch intensives Üben wird ein Fundament algebraischer Fertigkeiten gelegt.

• Zusammenfassen der Rechengesetze für rationale Zahlen
• Umformen von Produkten, Potenzen mit natürlichen Exponenten
• Umformen von Summen, Klammerregeln, Multiplizieren von Summen

M 7.3.2 Lösen von Gleichungen (ca. 9 Std.)

Das Mathematisieren von Sachzusammenhängen führt häufig zu linearen Gleichungen mit einer Variablen [→ NT 7.1]. Die Schüler gewinnen Verständnis für das systematische Lösen dieser Gleichungen und lernen, einen Lösungsalgorithmus sicher anzuwenden. Dabei wird ihnen bewusst, dass sie die durch das Kalkül gewonnene Lösung kritisch reflektieren müssen.

• Begriff der linearen Gleichung mit einer Variablen
• Aufstellen und Lösen solcher Gleichungen

M 7.4 Mathematik im Alltag: Daten, Diagramme und Prozentrechnung (ca. 11 Std.)

Die Schüler werten Daten aus Zufallsexperimenten oder statistischen Erhebungen graphisch und rechnerisch aus. Das Analysieren von Diagrammen [ → D 7.1] fördert ihre Fähigkeit, Sachverhalte zu beurteilen. Sie wiederholen dabei die Grundlagen des Prozentrechnens. Durch Beschäftigung mit Fragestellungen, die eine Veränderung des Grundwerts erfordern, vertiefen die Schüler ihre Kenntnisse aus Jahrgangsstufe 6.

• Auswerten von Daten (auch arithmetisches Mittel) [ → Geo 7.8]
• Wiederholen und Vertiefen des Prozentrechnens

M 7.5 Figurengeometrie: das Dreieck als Grundfigur

Häufig lassen sich reale Objekte gut mit geradlinig begrenzten geometrischen Figuren darstellen, deren Untersuchung unmittelbar auf Dreiecke als Grundbausteine führt. Daher beschäftigen sich die Schüler unter verschiedenen Gesichtspunkten weiter mit der Grundfigur Dreieck. Um geometrische Zusammenhänge auch experimentell zu erschließen, nutzen die Schüler dynamische Geometriesoftware als interaktives Werkzeug und knüpfen dabei an die aus Natur und Technik (Schwerpunkt Informatik) bekannte objektorientierte Sichtweise an [→ NT 6.2, NT 7.2] .

M 7.5.1 Kongruenz (ca. 6 Std.)

Die Frage, wann zwei Dreiecke deckungsgleich sind, führt die Schüler zur eindeutigen Konstruierbarkeit eines Dreiecks aus gegebenen Seiten oder Winkeln. Sie lernen davon ausgehend die Kongruenzsätze kennen, die als Fundamentalsätze verwendet werden.

• Begriff der Kongruenz von Figuren
• Kongruenzsätze für Dreiecke und grundlegende Konstruktionen

M 7.5.2 Besondere Dreiecke (ca. 14 Std.)

Durch Kongruenz- oder Symmetrieüberlegungen erfassen die Schüler die Eigenschaften des gleichschenkligen und des gleichseitigen Dreiecks. Am Beispiel des Satzes von Thales können sie erfahren, wie es dynamische Geometriesoftware erleichtern kann, Vermutungen aufzustellen. Sie verstehen den Beweis des Satzes von Thales sowie den seiner Umkehrung. Sie erkennen, dass sich neue Möglichkeiten für Konstruktionen eröffnen.

• gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
• rechtwinkliges Dreieck, Satz des Thales; Konstruktion von Kreistangenten

M 7.5.3 Konstruktionen (ca. 12 Std.)

Beim Konstruieren von Dreiecken und Vierecken werden Einfallsreichtum und geistige Wendigkeit der Schüler entwickelt. Wesentliches Ziel ist außerdem die Fähigkeit, Konstruktionsabläufe zu planen und zu dokumentieren. Fragen der Konstruierbarkeit und Lösungsvielfalt bei Variation der Bestimmungsstücke untersuchen die Schüler z. B. mithilfe von dynamischer Geometriesoftware. Zur Abrundung ihrer Geometriekenntnisse setzen sie ihre erworbenen Fähigkeiten bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen ein.

• Wiederholung von Höhe, Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter; Umkreis
• Konstruktion von Dreiecken und Vierecken auch in Sachzusammenhängen

M 7.6 Vertiefen der Algebra (ca. 12 Std.)

Die Schüler mathematisieren erneut Sachzusammenhänge durch Terme oder Gleichungen. Dabei wählen sie die der jeweiligen Problemstellung angemessene Strategie, erkennen Sinn und Nutzen der bereits erlernten Techniken und vertiefen diese in vielfältigen Anwendungen. Um flexibel einsetzbare Grundlagen zu entwickeln, steht vor allem die Verknüpfung der verschiedenen erlernten Kenntnisse und Methoden im Vordergrund. Die Schüler verbessern ihre Fähigkeit, mithilfe von Termen zu argumentieren und Zusammenhänge zu verbalisieren. Dabei wiederholen und vertiefen sie gezielt den Umgang mit den bisher bekannten Größen und deren Einheiten [ → NT 7.1].